Exposição - Simetria jogos de espelhos

Na Sala de Reuniões e Biblioteca.

Exposição " A Matemática de M.C.Escher" no Taguspark

As obras de M.C.Escher, o artista gráfico que muitos dizem ter alma de matemático, continuam a apaixonar o mundo. Para dar a conhecer a sua obra, a Taguspark, S.A., em colaboração com a Sociedade Portuguesa de Matemática, inaugura a exposição "A Matemática de M.C. Escher" dia 18 de Janeiro, às 12 horas, no Átrio do Núcleo Central do Taguspark. A sessão inaugural conta com a presença do Presidente da Câmara de Oeiras, Isaltino Morais, do Presidente da Comissão Executiva do Taguspark, Prof. Nuno Crato e do Presidente da SPM, Prof. Miguel Abreu.
Maurits Cornelis Escher (1898-19720) nasceu na Holanda, mais precisamente em Leeuwarden. Depois do secundário, pensou seguir arquitectura, mas o conhecimento travado com Samuel de Mesquita guiou-o na direcção do Desenho. Canhoto, tal como Miguel Ângelo e Leonardo da Vinci, especializou-se no desenho de espaços impossíveis e na criação de ilusões de óptica através do uso da perspectiva, divisão regular do plano, geometria hiperbólica e topologia. Escher não tinha grande treino matemático, no entanto trocou correspondência com matemáticos, como os ingleses Harold Scott MacDonald Coxeter e Roger Penrose, de forma a aperfeiçoar o seu trabalho.
"A Matemática de M.C.Escher" conta com algumas reproduções digitais gentilmente cedidas pela Fundação Eugénio de Almeida, em Évora, que tem patente uma mostra de cerca 50 litografias e xilogravuras originais do artista até ao dia 13 de Fevereiro. A Sociedade Portuguesa de Matemática pode disponibilizar uma versão da exposição, mediante pedido, a escolas, bibliotecas ou outras entidades que promovam a divulgação científica.

Para solicitar a exposição ou pedir informações, deverá entrar em contacto com o gabinete de comunicação da SPM através do e-mail imprensa@spm.pt.
Para mais informações, por favor contactar:
Gabinete de Imprensa da SPM: Ana Figueiredo, 21 795 1219 / 960 131 220,
ana.figueiredo@spm.pt
Site oficial: http://www.mcescher.com/

A. Teixeira

1ª eliminatória das Olimpíadas de Matemática

Apresentamos os alunos que realizaram a 1ª eliminatória das Olimpíadas de Matemática em 10 de Novembro e que foram apurados para a 2ª eliminatória que se vai realizar em 19 de Janeiro. Mais uma vez a nossa escola vai ser escola anfitriã desta eliminatória e receberá alunos de outras escolas.

Categoria JUNIOR

Alex Morais Ramos
Ana Cristina Leandro
José Pedro Gonçalves
José Pedro Magalhães
Maria Beatriz Patarata
Sara Raquel Gil

Categoria A
Patricia Raquel Lopes

Categoria B
Rafael Silva
Filipe Cardoso

Enviado por A. Teixeira

O carbono 60, a bola de futebol e a igualdade de Euler

A 3 de Setembro a Google apresentava um banner celebrando os 25 anos da descoberta dos fulerenos por Robert F. Curl Jr., Sir Harold W. Kroto e Richard E. Smalley (esta descoberta valeu o Prémio Nobel da Química de 1996 a estes investigadores).

O que são fulerenos?

Fulerenos são formas muito estáveis do carbono. Um dos fulerenos é o C60 designado por buckminsterfulereno em homenagem ao arquitecto Buckminster Fuller ( 1895-1983) pelas suas famosas estruturas - as cúpulas geodésicas.

Pela semelhança da sua estrutura com a de uma bola de futebol também se designa este alótropo do carbono por buckyball ou futeboleno.

Do icosaedro à bola de futebol

Truncando os vértices de um icosaedro chegamos ao poliedro que deu origem à bola de futebol.

A geometria da bola de futebol
Na bola de futebol há 60 vértices (V = 60) e 32 faces (F = 32). Como em cada vértice confluem 3 arestas, então há 90 arestas ( A = 3x60/2) (nota que cada aresta "conta" para dois vértices). Verifica-se aqui a igualdade de Euler (F + V = A + 2).


Quantas faces pentagonais há em qualquer fulereno?
Em qualquer fulereno cada átomo - vértice- está ligado a 3 outros átomos. O número de ligações - arestas - é então A = 3V/2 ou seja V = 2A/3.
Da igualdade de Euler vem que F + 2A/3 = A + 2 e obtemos F = A/3 + 2.
Mas num fulereno há P faces pentagonais e H faces hexagonais o que implica que:
F = P + H e A =(5P + 6H)/2 ( 5 arestas de cada pentágono e 6 arestas de cada hexágono, sendo cada aresta "partilhada" por duas faces).
Assim A = (5P + 6(A/3 +2 - P))/2 equação que resolvida dá P=12. Assim qualquer fulereno tem 12 faces pentagonais variando unicamente o número de faces hexagonais.
No caso do C60, cada pentágono está rodeado por um colar de cinco hexágonos. Se o número desses colares ao redor de cada pentágono for aumentado para 2, 3 ou mais, obtém-se uma família de fulerenos gigantes que começa com C240 e C540 (a família é dada por C60n2, onde n = 1, 2, 3 etc.).
Essas moléculas, à medida que se tornam maiores, ficam menos esféricas.

In http://divulgarciencia.com/author/fernanda-carvalhal/

Enviado por António Teixeira

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot, matemático franco-americano pioneiro da geometria fractal, morreu esta quinta-feira, aos 85 anos, em Cambridge, Massachusetts, vítima de cancro, revelou a sua família em comunicado.

As suas descobertas foram aplicadas a vários domínios, como a geologia, medicina, astronomia ou engenharia.
O Presidente francês, Nicolas Sarkozy, homenageou a memória de Mandelbrot, em comunicado, considerando-o um “espírito forte, original, que jamais hesitou inovar”.
Nascido em Varsóvia, Polónia, a 20 de Novembro de 1924, numa família judaica de origem lituana, Mandelbrot fugiu da ameaça nazi refugiando-se em França com a sua família, antes de se instalar nos Estados Unidos, depois da Segunda Guerra Mundial.
O matemático desenvolveu os objectos fractais, uma nova classe de objectos matemáticos, cujos contornos desiguais podem imitar as irregularidades encontradas na natureza. Defendia objectos matemáticos que os seus pares consideravam “monstruosos”.
Numa entrevista ao jornal francês “Fígaro”, publicada em 1989, Mandelbrot explicava: “sempre pensei que existisse uma ordem na natureza. E estou muito contente por mostrá-la”.
Antigo aluno da escola Politécnica de Paris, Mandelbrot foi professor emérito da Universidade de Yale, em Connecticut, EUA. Antes de entrar no Centro de Investigação da IBM em 1958, o investigador trabalhou no Centro Nacional de Investigação Científica (CNRS), em Paris.

Fonte: Público on-line
Enviado por António Teixeira
Ver mais em : http://www.publico.pt/Mundo/morreu-mandelbrot-o-pai-dos-fractais_1461407

Teorema de Pitágoras

4 demonstrações do teorema de Pitágoras

Enviado por António Teixeira

ARTE e MATEMÁTICA

Criatividade, beleza, universalidade, simetria, dinamismo são qualidades que frequentemente usamos quando nos referimos quer à Arte quer à Matemática. Beleza e rigor são comuns a ambas. A Matemática tem um notável potencial de revelação de estruturas e padrões que nos permitem compreender o mundo que nos rodeia. Desenvolve a capacidade de sonhar! Permite imaginar mundos diferentes, e dá também a possibilidade de comunicar esses sonhos de forma clara e não ambígua. E é justamente esta capacidade de enriquecer o imaginário, de forma estruturada, que tem atraído de novo muitos criadores de Arte e tem influenciado até correntes artísticas. Como a história demonstra, a Matemática evolui muitas vezes por motivações de ordem estética. Como dizia Aristóteles "Os filósofos que afirmam que a Matemática não tem nada a ver com a Estética estão seguramente errados. A Beleza é de facto o objecto principal do raciocínio e das demonstrações matemáticas", e Hardy afirmava que "O matemático, tal como o pintor ou o poeta, é um criador de padrões. Um pintor faz padrões com formas e cores, um poeta com palavras e o matemático com ideias. Todos os padrões devem ser belos. As ideias, tal como as cores, as palavras ou os sons, devem ajustar-se de forma perfeita e harmoniosa.”

http://cmup.fc.up.pt/cmup/arte/

António Teixeira

2ª eliminatória das XXVIII Olimpíadas Portuguesas de Matemática.

Realizou-se na nossa escola, em 13 em Janeiro, a 2ª eliminatória das XXVIII Olimpíadas Portuguesas de Matemática.
Estiveram presente alunos das escolas da cidade de Vila Real, que foram apurados na 1ª eliminatória realizada em Novembro. Parabéns aos alunos participantes e ficamos à espera que sejam apurados para a Final Nacional a realizar em Évora no mês de Março.

António Teixeira

CUBOS … ilusões de óptica e figuras impossíveis.

in http://brainden.com/optical-illusions.htm

Enviado por António Teixeira

2ª eliminatória das XXVIII Olimpíadas de Matemática,

A nossa escola foi seleccionada como local de realização da 2ª eliminatória das XXVIII Olimpíadas de Matemática, a decorrer no dia 13 de Janeiro às 15, 30 horas. Vão participar alunos das escolas da região, e da nossa escola foram apurados para esta eliminatória os alunos Marta Olhero Carvalho do 9º A, na categoria A, Rui Filipe Carvalho do 10º C e Filipe José Cardoso do 10º G, na categoria B.

António Teixeira

XXVIII Olimpíadas Portuguesas de Matemática

Realizou-se no dia 11 de Novembro a 1ª eliminatória das Olimpíadas de Matemática. Na Pré-Olimpíada (7º ano), PARABÉNS aos alunos do 7º F, André Miguel Abraão, que obteve 40 pontos, o máximo possível, e Maria Inês Pereira que obteve 35 pontos. Na Categoria A (8º e 9º anos), a aluna Marta Olhero Carvalho, do 9º A, foi a melhor classificada tendo obtido 31 pontos. Na Categoria B (10º, 11º e 12º anos) os alunos Rui Filipe Carvalho do 10º C e Filipe José Cardoso do 10º G, obtiveram 30 pontos.

António Teixeira

Matemática - Engenho 2

QUADRADO MÁGICO

Observa o quadrado. Atende à prioridade da multiplicação em relação à adição e à subtracção e coloca em cada O, um dos sinais +, –, ou x, conforme achares conveniente.

UMA PIRÂMIDE ESTRANHA Observa o esquema e escreve em cada quadrado o número que falta.

A TOSSE DO JOÃO

O João passou a noite a tossir. O pai, que é médico, apresentou-se a dar-lhe um xarope, para ele tomar uma colher de seis em seis horas, e umas pastilhas, para chupar uma de quatro em quatro horas. O João tomou os dois medicamentos às cinco horas da manhã.
Passado quanto tempo voltará a tomá-los novamente?

OS CAÇADORES

Certo dia dois amigos foram à caça de coelhos, e quando chegaram a casa resolveram contar quantos tinham apanhado.
Então um deles fez a conta mais depressa e disse para o outro:
- Olha, se tu me deres um coelho, eu fico com o dobro dos teus e, se eu te der um, ficamos os dois com o mesmo número.
Quantos coelhos tinha cada um dos amigos?

RECTÂNGULOS

Observa a seguinte figura:

Quantos rectângulos tem a figura?

SÉRIE DE NÚMEROS
Observa a figura:

Atende aos números apresentados e completa o esquema, escrevendo o número conveniente.

O VASO
Como partir este vaso de modo a formar dois quadrados?

QUADRADOS

O quadrado pequeno tem 1m de lado e o grande 1,5m. Este tem um dos vértices no centro do quadrado pequeno. O lado do quadrado grande corta o lado do pequeno ao terço do seu comprimento.
Qual é a área da superfície da parte comum aos dois quadrados?

QUEM É QUEM?

“- Que diabo de coisas tão esquisitas há hoje. Ainda ontem tinha sido tudo tão normal!... Será que mudei de noite?... Vamos por partes: era mesmo eu quando me levantei esta manhã? Quer-me parecer que me lembro de me sentir um bocado diferente – mas, se não sou a mesma quem é que sou afinal? Aí é que está uma grande confusão...
Começou por lembrar-se de todas as meninas que conhecia com a sua idade, para ver se tinha trocado por alguma delas.
Tenho a certeza que não sou a Joana – disse – ela tem o cabelo todo aos caracóis e o meu não tem caracóis de espécie alguma; tenho a certeza que não sou a Filipa porque eu sei tudo, e ela não sabe muito. Depois sucede que ela é ela e eu sou eu...”
Aventuras de Alice no País das Maravilhas, de Lewis Carroll

A Alice já não sabe quem é, mas lembra-se que vive na mesma rua que a Filipa e a Joana e que, das três meninas uma é loira, outra é ruiva e a outra morena. A morena não tem caracóis; a Filipa, que não sabe nada, costuma pedir à loira que a ajude nos trabalhos de casa, e a loira costuma jogar xadrez com a Joana aos Domingos.
Será capaz de descobrir a cor do cabelo de cada uma das três amigas?

JOGO: “QUEM DIZ 100!”
Número de jogadores: 2
Como se joga?
Um dos jogadores diz um número inteiro de 1 a 10 (inclusive).
Os jogadores jogam alternadamente, adicionando ao último número mencionado um número inteiro escolhido de 1 a 10.
Quem ganha? Ganha o jogador que disser cem.

Consoante as épocas, encontramos simbologias diferentes. Assim, por exemplo, para um mesmo polinómio, é escrita desta forma por:

SOLUÇÕES DO ENGENHO 2

OS CAÇADORES
O amigo que fez a conta tinha sete coelhos e o outro cinco.

" Engenho" na Matemática

O espaço “ENGENHO” tem como real objectivo promover o gosto pela Matemática. É um espaço de lazer, diversão e de apelo à criatividade a pensar em ti. Nele poderás encontrar jogos, problemas, desafios, passatempos e muito mais.
Mostra do que és capaz e diverte-te!

UMA QUESTÃO DE CALENDÁRIO

Um determinado ano tem 53 domingos. Será possível que neste ano o dia 8 de Março seja uma sexta-feira?

A REUNIÃO

Numa reunião secreta, toda a gente aperta a mão a cada um dos presentes. No total, houve quarenta e cinco apertos de mão.
Quantas pessoas estiveram presentes?

MOEDAS

Forma com oito moedas um quadrado, como o da figura, colocando em cada lado, três moedas.
Deslocando quatro moedas, forma outro quadrado, com quatro moedas em cada lado.

QUAL É O NÚMERO?

Tem três algarismos: e, com os números: - - -

123 – não tem nenhum algarismo em comum;
345 – tem um algarismo comum, que não está na posição certa;
564 – tem um algarismo comum, na posição certa;
576 – tem um algarismo comum, que não está na posição certa;
168 – tem um algarismo comum, que não está na posição certa.

UM PROBLEMA DE HERANÇA

Um homem deixou de herança aos seus três filhos trinta garrafões de vinho. Dez deles estavam cheios, outros dez pela metade e, os restantes dez, vazios. Como é que hão-de fazer esta partilha de garrafões e vinho, para que cada um dos filhos receba igualmente o mesmo número de garrafões e vinho?

OVOS E GALINHAS

Na capoeira do senhor Alegria há sempre um grande reboliço! As galinhas comem milho e não param de pôr ovos!
... quinze galinhas põem quinze dúzias de ovos em quinze dias.
... cinco galinhas comem cinco quilogramas de milho em cinco dias.
Quanto milho tem de gastar o senhor Alegria para obter uma dúzia de ovos?

PROBLEMA DA JÚLIA

Júlia, a leiteira, tem de entregar um litro de leite, mas só dispõe de duas medidas: uma de cinco litros e outra de três.
Como deve ela proceder para medir um litro?

CURIOSIDADES

MEDIR COM O CORPO HUMANO

Antigamente as medidas do comprimento eram baseadas em medidas do corpo humano. Algumas delas ainda hoje, por vezes, se utilizam. Por exemplo:
... Pé é a distância que vai do calcanhar à extremidade dos dedos dos pés.
... Polegada é a medida aproximadamente igual ao comprimento da segunda falange do dedo polegar.
... Jarda é a distância entre o queixo e as pontas dos dedos, com o braço esticado.

... Palmo é a distância que vai da extremidade do dedo polegar à ponta do dedo mínimo, com a mão aberta.

Medidas aproximadas no sistema métrico
Pé : 30,479 cm; Polegada: 2,54 cm; Jarda: 91,4 cm; Palmo: 22 cm

À VOLTA COM OS MEIOS

Três moscas com três meias moscas e mosca e meia, quantas moscas são?
Bota e meia em cada pé, quantas botas são?
Uma meia, meia feita e outra meia por fazer, diz lá quantas meias vêm a ser?

LABIRINTO

Descobre o número que permite sair do labirinto, sabendo que só pode avançar para uma casa se o número que lhe corresponde for múltiplo ou divisor do anterior.
Indica os números por que passaste desde que entraste até que saíste do labirinto

Soluções

UMA QUESTÃO DE CALENDÁRIO

Se o ano é comum, tem cinquenta e duas semanas e um dia. Assim, para que tenha cinquenta e três domingos, o primeiro dia do ano terá que ser um Domingo. Neste caso o dia oito de Março é uma Quarta-feira. Se o ano é bissexto, tem cinquenta e duas semanas e dois dias. Assim, para que tenha cinquenta e três domingos, o primeiro dia do ano poderá ser um Sábado ou um Domingo. Sendo um Domingo, o dia oito de Março é uma Quinta-feira visto que Fevereiro tem vinte e nove dias. Por outro lado, se o primeiro dia do ano for um Sábado, o dia oito de Março é então uma Quarta-feira. Podemos então concluir que o dia oito de Março nunca poderá ser uma Sexta-feira num ano que tenha cinquenta e três Domingos.

A REUNIÃO Para terem havido quarenta e cinco apertos de mão estiveram presentes dez pessoas.

MOEDAS Colocam-se quatro moedas em cima das outras quatro e obtém-se:

QUAL É O NÚMERO? O número é:784

UM PROBLEMA DE HERANÇA Dois filhos receberam cinco garrafões cheios e cinco vazios e o outro recebe dez garrafões meios. Assim recebem todos dez garrafões e os cinco litros de vinho.

OVOS E GALINHAS Se quinze galinhas põem quinze dúzias de ovos em quinze dias e cinco galinhas comem cinco quilogramas de milho em cinco dias, então quinze galinhas põem uma dúzia de ovos num dia e comem quinze quilogramas de milho em cinco dias. Num dia comem então três quilogramas de milho.

À VOLTA COM OS MEIOS
1º quatro moscas. 2º duas botas e duas meias. 3º duas meias.

LABIRINTO O número é o 3 e a sequência seguida foi: 210, 30, 6, 126, 7, 105, 35, 5, 15, 75 e 3.

O PROBLEMA DA JÚLIA Enche a medida três e verte para a cinco, ficando nesta última dois litros de vago. Enche novamente a medida três e verte para a cinco até ao cimo. O que sobra ma medida três é exactamente um litro de leite.

Trabalho disponibilizado pelo professor Rui Fernandes.